Peluang ( XI SMA )

Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika

Rumus Web mengumpulkan materi Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika ini untuk anak SMA demi UAN SNMPTN SPMB SIMAK UI. Silakan dipelajari



1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi

dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri

Contoh permutasi siklis :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,
Contoh :
Diketahui himpunan .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan nCk, hitung 10C4

kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri
Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!

Peluang Matematika

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :

Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peluang Kejadian Majemuk

1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku Jika . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika adalah peluang terjadinya A dan B, maka Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

Sebaran Peluang

1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :

2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan
P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal

Frekuensi merupakan perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan banyaknya kejadian yang diamati. Frekuensi dapat diketahui dengan menggunakan rumus:

Apabila setiap titik sampel dari anggota ruang sampel S mempunyai peluang yang sama, maka peluang kejadian K yang jumlah anggotanya dinyatakan dalam n(K) dapat diketahui dengan rumus :

Peluang munculnya kejadian dapat diperkirakan melalui notasi di bawah ini:

Apabila nilai P(K) = 0 maka kejadian K tersebut sangat mustahil untuk terjadi

Apabila nilai P(K) = 1 maka kejadian K tersebut pasti akan terjadi

Amatilah contoh soal di bawah ini:

Contoh Soal 1

Pada proses pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang berangka ganjil

Jawab:

Ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}

n(S) = 6

Mata dadu ganjil = {1,3,5}

n(S) = 3

maka P(K) = 3/6 = 1/2

Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk adalah dua atau lebih kejadian yang dioperasikan sehingga terbentuklah sebuah kejadian yang baru

Suatu kejadian K dan kejadian komplemen berupa K' memenuhi persamaan:

P(K) + P(K') = 1 atau P(K') = 1 - P(K)

Contoh Soal 2

dari seperangkat kartu bridge, diambillah satu buah kartu secara acak. tentukan peluang terambilnya kartu yang bukan As.

Jawab:

jumlah kartu bridge = n(S) = 52

jumlah kartu As = n(K) = 4

P(K) = 4/52 = 1/13

peluang yang terambil bukan kartu As = P(K') = 1-P(K) = 1 - 1/13 = 12/13

PENJUMLAHAN PELUANG

Kejadian Saling Lepas

dua buah kejadian A dan B dikatakan saling lepas apabila tak ada satupun elemen pada kejadian A yang sama dengan elemen yang ada pada kejadian B. untuk dua buah kejadian yang saling lepas, maka peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumusnya adalah:

P(A u B) = P(A) + P(B)

Contoh Soal 3

Dua buah dadu masing-masing berwarna merah dan putih dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang berjumlah 3 atau 10!

Jawab:

Hasil pelemparan dadu tersebut dapat digambarkan dengan tabel ini:

Kejadian mata dadu berjumlah 3 ditandai dengan warna kuning.

A = {(1,2), (2,1)}

n(A) = 2

Kejadian mata dadu berjumlah 10 ditandai dengan warna biru

B = {(4,6), (5,5), (6,4)}

Karena tidak ada elemen yang sama pada A dan B digunakan rumus:

P(A u B) = P(A) + P(B)

P(A u B) = 2/36 + 3/36

P(A u B) = 5/36

Kejadian Tidak Saling Lepas

Artinya ada elemen A yang sama dengan elemen B, rumusnya dapat dituliskan menjadi:

P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

Contoh Soal 4
Sebuah kartu diambil dari tumpukkan kartu bridge secara acak. coba kalian tentukan peluang dari kartu yang terambil adalah kartu hati dan kartu bergambar (K,Q,J)!

Jawab:
Jumlah kartu bridge = n(S) = 52
jumlah kartu hati = n(A) = 13
jumlah kartu bergambar = n(B) = 12

karena ada kartu bergambar yang merupakan kelompok kartu hati (J hati, Q hati, dan K hati) maka A dan B tidak saling lepas sehingga digunakanlah rumus:

P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)
= 13/52 + 12/52 - 3/52

= 22/52 = 11/26

Kejadian Saling Bebas

Dua buah kejadian dapat disebut saling bebas bila munculnya kejadian A tidak berpengaruh pada munculnya kejadian B sehingga peluang kejadian A dan B terjadi bersamaan dapat dituliskan menjadi:

P(A n B) = P(A) x P(B)

Contoh Soal 5

Pada percobaan pelemparan dua buah dadu, coba tentukan peluang munculnya angka genap pada dau pertama dan angka ganjil prima pada dadu kedua!

Jawab:

misalkan A = kejadian munculnya mata dadu genap pada dadu pertama = {2,4,6} maka P(A) = 3/6

misalkan B = kejadian munculnya mata dadu ganjil prima pada dadu kedua = {3,5} maka P(B) = 2/6

karena kejadian A tidak berpengaruh pada kejadian B maka digunakan rumus:

P(A n B) = P(A) x P(B)

P(A n B) = 3/6 x 2/6 = 1/6

Kejadian Bersyarat

kejadian bersyarat terjaid apabila kejadian A mempengaruhi munculnya kejadian B atau sebaliknya. maka dapat dituliskan seperti ini:

P(A n B) = P(A) x P(B/A)

atau

P(A n B) = P(B) x P(A/B)

Contoh Soal 6

ada sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 4 bola hijau. bila diambil dua buah bola satu persatu tanpa adanya pengembalian, tentukanlah peluang bola yang terambil adalah bola merah pada pengambilan pertama dan bola hijau pada pengambilan kedua!

Jawab:

Pada pengambilan pertama tersedia 5 bola merah dari 9 bola yang ada.

maka P(M) = 5/9

Pada pengambilan kedua ada 4 bola hijau dari 8 bola yang tersisa (dengan syarat bola merah telah terambil).

maka P(H/M) = 4/8

karena kejadiannya saling berpengaruh, digunakanlah rumus:

P(M n H) = P(M) x P(H/M)

P(M n H) = 5/9 x 4/8 = 5/18

Terima kasih telah mengunjungi Blog ini
Semoga dapat Bermanfaat dan Berguna Untuk Kita Semua
Add FB = Boy Engga Oscar Siallagan