Rumus
Web mengumpulkan materi Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika
ini untuk anak SMA demi UAN SNMPTN SPMB SIMAK UI. Silakan dipelajari
1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Permutasi k unsur dari n unsur
adalah
semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n
unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis
atau
.
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi
dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri 
Contoh permutasi siklis :
Suatu
keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan
yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk
mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan
urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6
unsur yaitu :
2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur
dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk
Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,
Contoh :
Diketahui himpunan
.
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :
Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).
Cara cepat mengerjakan soal kombinasi
dengan penulisan nCk, hitung 10C4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri
Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!
Peluang Matematika
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari
suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur
dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu
himpunan bagian dari ruang sampel S.
Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang
masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah
kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing
berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k
hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A )
ditentukan dengan rumus :
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1].
Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan
kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan
peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan
adalah n x P( A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : 
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah
5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian
pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian
A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Peluang Kejadian Majemuk
1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan :
dibaca “ Kejadian A atau B dan
dibaca “Kejadian A dan B”
Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan
komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang
kejadian A atau B!
Jawab :
2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku
Jika
. Sehingga
Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan
sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika
adalah peluang terjadinya A dan B, maka
Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A
dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan
salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P
(A), sehingga:
Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R.
Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan
himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y
adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval,
peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari
sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap
dan setiap
maka:
Misalkan
X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang
disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan
dengan rumus berikut :
2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan
P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal
Frekuensi
merupakan perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan
banyaknya kejadian yang diamati. Frekuensi dapat diketahui dengan menggunakan
rumus:
Apabila setiap
titik sampel dari anggota ruang sampel S mempunyai peluang yang sama, maka
peluang kejadian K yang jumlah anggotanya dinyatakan dalam n(K) dapat diketahui
dengan rumus :
Peluang munculnya
kejadian dapat diperkirakan melalui notasi di bawah ini:
Apabila nilai
P(K) = 0 maka kejadian K tersebut sangat mustahil untuk terjadi
Apabila nilai
P(K) = 1 maka kejadian K tersebut pasti akan terjadi
Amatilah
contoh soal di bawah ini:
Contoh Soal
1
Pada proses
pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang berangka
ganjil
Jawab:
Ruang sampel
S = {1,2,3,4,5,6}
n(S) = 6
Mata dadu
ganjil = {1,3,5}
n(S) = 3
maka P(K) =
3/6 = 1/2
Kejadian
Majemuk
Kejadian
majemuk adalah dua atau lebih kejadian yang dioperasikan sehingga terbentuklah
sebuah kejadian yang baru
Suatu
kejadian K dan kejadian komplemen berupa K' memenuhi persamaan:
P(K) + P(K')
= 1 atau P(K') = 1 - P(K)
Contoh Soal
2
dari
seperangkat kartu bridge, diambillah satu buah kartu secara acak. tentukan
peluang terambilnya kartu yang bukan As.
Jawab:
jumlah kartu
bridge = n(S) = 52
jumlah kartu
As = n(K) = 4
P(K) = 4/52
= 1/13
peluang yang
terambil bukan kartu As = P(K') = 1-P(K) = 1 - 1/13 = 12/13
PENJUMLAHAN PELUANG
Kejadian Saling Lepas
dua buah
kejadian A dan B dikatakan saling lepas apabila tak ada satupun elemen pada
kejadian A yang sama dengan elemen yang ada pada kejadian B. untuk dua buah
kejadian yang saling lepas, maka peluang salah satu A atau B mungkin terjadi,
rumusnya adalah:
P(A u B) = P(A) + P(B)
Contoh Soal 3
Dua buah
dadu masing-masing berwarna merah dan putih dilempar secara bersamaan sebanyak
satu kali, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang berjumlah 3 atau 10!
Jawab:
Hasil
pelemparan dadu tersebut dapat digambarkan dengan tabel ini:
Kejadian
mata dadu berjumlah 3 ditandai dengan warna kuning.
A = {(1,2),
(2,1)}
n(A) = 2
Kejadian
mata dadu berjumlah 10 ditandai dengan warna biru
B = {(4,6),
(5,5), (6,4)}
Karena tidak
ada elemen yang sama pada A dan B digunakan rumus:
P(A u B) =
P(A) + P(B)
P(A u B) =
2/36 + 3/36
P(A u B) =
5/36
Kejadian Tidak Saling Lepas
Artinya ada
elemen A yang sama dengan elemen B, rumusnya dapat dituliskan menjadi:
P(A u B) =
P(A) + P(B) - P(A n B)
Contoh Soal 4
Sebuah kartu diambil dari tumpukkan kartu bridge secara acak. coba
kalian tentukan peluang dari kartu yang terambil adalah kartu hati dan
kartu bergambar (K,Q,J)!
Jawab:
Jumlah kartu bridge = n(S) = 52
jumlah kartu hati = n(A) = 13
jumlah kartu bergambar = n(B) = 12
karena ada kartu bergambar yang merupakan kelompok kartu hati (J hati, Q
hati, dan K hati) maka A dan B tidak saling lepas sehingga digunakanlah
rumus:
P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)
= 13/52 + 12/52 - 3/52
= 22/52 = 11/26
Kejadian
Saling Bebas
Dua buah
kejadian dapat disebut saling bebas bila munculnya kejadian A tidak berpengaruh
pada munculnya kejadian B sehingga peluang kejadian A dan B terjadi bersamaan
dapat dituliskan menjadi:
P(A n B) = P(A) x P(B)
Contoh Soal 5
Pada
percobaan pelemparan dua buah dadu, coba tentukan peluang munculnya angka genap
pada dau pertama dan angka ganjil prima pada dadu kedua!
Jawab:
misalkan A
= kejadian munculnya mata dadu genap pada dadu pertama = {2,4,6} maka P(A) =
3/6
misalkan B
= kejadian munculnya mata dadu ganjil prima pada dadu kedua = {3,5} maka P(B) =
2/6
karena
kejadian A tidak berpengaruh pada kejadian B maka digunakan rumus:
P(A n B) = P(A) x P(B)
P(A n B) = 3/6 x 2/6 = 1/6
Kejadian Bersyarat
kejadian
bersyarat terjaid apabila kejadian A mempengaruhi munculnya kejadian B atau
sebaliknya. maka dapat dituliskan seperti ini:
P(A n B) = P(A) x P(B/A)
atau
P(A n B) = P(B) x P(A/B)
Contoh Soal 6
ada sebuah
kotak yang berisi 5 bola merah dan 4 bola hijau. bila diambil dua buah bola
satu persatu tanpa adanya pengembalian, tentukanlah peluang bola yang terambil
adalah bola merah pada pengambilan pertama dan bola hijau pada pengambilan
kedua!
Jawab:
Pada
pengambilan pertama tersedia 5 bola merah dari 9 bola yang ada.
maka P(M)
= 5/9
Pada
pengambilan kedua ada 4 bola hijau dari 8 bola yang tersisa (dengan syarat bola
merah telah terambil).
maka
P(H/M) = 4/8
karena
kejadiannya saling berpengaruh, digunakanlah rumus:
P(M n H) = P(M) x P(H/M)
P(M n H) = 5/9 x 4/8 = 5/18
Terima kasih telah mengunjungi Blog ini
Semoga dapat Bermanfaat dan Berguna Untuk Kita Semua
Add FB = Boy Engga Oscar Siallagan
